Certains des arguments pour l`utilisation de GBM aux prix des actions de modèle sont: compte tenu d`un marché financier M {displaystyle {mathcal {M}}}, puis un processus de revenu cumulatif Γ (t) 0 ≤ t ≤ T {displaystyle Gamma (t) ; 0 Leq tleq T} est un semi- accumulé au fil du temps [0, t] {displaystyle [0, t]}, en raison de sources autres que les investissements dans les actifs N + 1 {displaystyle N + 1} du marché financier. Une part d`une obligation (marché monétaire) a le prix S 0 (t) > 0 {displaystyle s_ {0} (t) > 0} au moment t {displaystyle t} avec S 0 (0) = 1 {displaystyle s_ {0} (0) = 1}, est continu, {F (t); 0 ≤ t ≤ T} {displaystyle {{mathcal {F}} (t); ; 0 Leq tleq T }} adapté , et a une variation finie. Comme il a une variation finie, il peut être décomposé en une partie absolument continue S 0 a (t) {displaystyle s_ {0} ^ {a} (t)} et une partie continue singulièrement S 0 s (t) {displaystyle s_ {0} ^ {s} (t)}, par le théorème de décomposition de Lebesgue Define: S t {displaystyle s_ {t}} est un processus Itō qui nécessite l`utilisation d`Itō Calculus. Appliquer la formule d`Itō conduit à. Le marché M {displaystyle {mathcal {M}}} est dit complet si tous les B {displaystyle B} sont financeables, c`est-à-dire s`il existe un processus de portefeuille financé par x {displaystyle x} (π n (t); n = 1… N) {displaystyle (pi _ {n} (t); ; n = 1 ldots N)}, de telle sorte que le processus de richesse associé X (t) {displaystyle X (t)} satisfait où les processus Wiener sont corrélés de telle sorte que E (d W t i d W t j) = ρ i, j d t {displaystyle mathbb {E} (dW_ {t} ^ {i} dW_ {t} ^ {j}) = rho _ {i , j} DT} où ρ i, i = 1 {displaystyle rho _ {i, i} = 1}. Il s`avère que pour un portefeuille autofinancé, la valeur appropriée de π 0 {displaystyle pi _ {0}} est déterminée à partir de π = (π 1,… π N) {displaystyle pi = (pi _ {1}, ldots pi _ {N})} et par conséquent, parfois π {displaystyle pi} est appelé processus de portefeuille. En outre, π 0 < 0 {displaystyle pi _ {0} < 0} implique d`emprunter de l`argent sur le marché monétaire, tandis que π n < 0 {displaystyle pi _ {n} < 0} implique de prendre une position courte sur le stock. Un marché financier complet est celui qui permet une couverture efficace du risque inhérent à toute stratégie d`investissement.

Define π n (t) ≜ ν n (t) {displaystyle pi _ {n} (t) triangleq nu _ {n} (t)}, laissez la partition temporelle aller à zéro, et remplacez Y (t) {displaystyle Y (t)} comme défini précédemment, pour obtenir le SDE correspondant pour le processus de gains. Ici π n (t) {displaystyle pi _ {n} (t)} désigne le montant en dollars investi dans l`actif n {displaystyle n} au moment t {displaystyle t}, et non le nombre d`actions détenues.